Asal Sayıların Son Basamaklarında Gizli Düzen

Asal sayılar, yalnızca kendilerine ve 1’e bölünebilen sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 gibi. Matematikçiler, asal sayıların sonsuzluğun derinliklerinde nasıl dağıldığını anlamaya çalışıyorlar. Ancak, asal sayıların hangileri olduğunu önceden tahmin etmenin bir yolu yok. Bu yüzden, asal sayıları rastgele sayılar gibi ele alıyorlar.

Ancak, Stanford Üniversitesi’nden Kannan Soundararajan ve Robert Lemke Oliver, asal sayıların hiç de rastgele olmadığını keşfettiler. Asal sayıların son basamaklarında beklenmedik bir düzen buldular. Bu buluş, matematikçileri şaşırttı ve sayı kuramcılarının daha dikkatli olmaları gerektiğini gösterdi.

2 ve 5 hariç, tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biterler. Çünkü, 2 veya 5 ile biterlerse, 2 veya 5’e bölünebilirler. Ve her bir son basamağın eşit olasılıkla ortaya çıkması beklenir. Ancak, araştırmacılar, asal sayıların son basamaklarının birbirini nasıl etkilediğini incelediklerinde bunun böyle olmadığını fark ettiler.

Örneğin, 1 ile biten bir asal sayıdan sonra, yine 1 ile biten başka bir asal sayı gelmesi daha az olası. Eğer asal sayılar gerçekten rastgele olsaydı, ardışık asal sayıların son basamakları birbirinin umurunda olmazdı. “Çok tuhaftı,” diyor Soundararajan. “Sanki çok aşina olduğunuz bir tabloya bakıyorsunuz, sonra birden tabloda daha önce hiç görmediğiniz bir figür fark ediyorsunuz.”

İlk yüz milyon asal sayıya baktıklarında, 1 ile biten bir asal sayıdan sonra yine 1 ile biten bir asal sayının gelme olasılığının yüzde 18.5 olduğunu buldular. Eğer asal sayılar rastgele dağılsaydı, bu olasılığın yüzde 25 olması gerekirdi. 1 ile biten bir asal sayıdan sonra 3 veya 7 ile biten bir asal sayının gelme olasılığı ise yüzde 30 civarındaydı. 9 ile biten bir asal sayının gelme olasılığı ise yüzde 22 civarındaydı. Diğer son basamak kombinasyonları için de benzer eğilimler gözlemlendi. Bu eğilimler, onluk sayı sisteminin bir sonucu değil, asal sayıların kendilerine özgü bir özelliği.

Bu eğilimler, sayılar büyüdükçe rastgeleliğe daha yakın hâle geliyorlar. Araştırmacılar, birkaç trilyon asal sayıya kadar kontrol ettiler. Ancak, eğilimler hala devam ediyor. “Çok şaşırdım,” diyor Oxford Üniversitesi’nden James Maynard. Makaleyi duyar duymaz, kendi hesaplamalarını yaparak eğilimin varlığını kontrol etti.

Bu eğilimlerin neden ortaya çıktığı henüz tam olarak anlaşılmış değil. Ancak, bir açıklama şöyle olabilir: 1 ile biten bir asal sayıdan sonra, yine 1 ile biten bir asal sayının gelmesi, diğer son basamaklara göre daha fazla sayıyı elemek anlamına gelir. Örneğin, 11’den sonra, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 gibi sayılar zaten 11’e bölünebilir. Bu yüzden, 1 ile biten bir asal sayıdan sonra, 3 veya 7 ile biten bir asal sayının gelmesi daha olası olabilir.

Ancak, bu açıklama yeterli değil. Çünkü, asal sayılar sonsuza giderken, bu eğilimlerin kaybolması ve rastgele dağılıma yaklaşması gerekir. Ancak, bunun ne zaman ve nasıl olacağı bilinmiyor. Bu, asal sayıların gizemini biraz daha artırıyor.

Kaynaklar:

1: New Scientist, “Mathematicians shocked to find pattern in ‘random’ prime numbers”, 14 Mart 2016.

2: K. Soundararajan ve R. Lemke Oliver, “Unexpected biases in the distribution of consecutive primes”, 2016.